(本小題滿分12分)
如右圖所示,已知直四棱柱的底面是菱形,且
,
,F為
的中點,M為線段
的中點。
(1)求證:直線MF平面ABCD
(2)求證:直線MF平面
(3)求平面與平面ABCD所成二面角的大小
(1)略(2)略(3) 或
解法一:(1)設AC與BD交于點O,因為點M、F分別為、
的中點,所以
,
又,
――――――――3分
(2)因為底面為菱形且,所以四邊形
與
全等,
又點F為中點,所以
,在等腰△
中,
因為,所以
,可得
,
所以(線面垂直判定定理)
――――――――――――――――――――7分
(3)延長,連接AQ,則AQ為平面
與平面ABCD的交線.
所以FB為△的中位線, 則QB=BC,設底面菱形邊長為a,可得AB=QB=a,
又 所以
那么△ABQ為等邊三角形.
取AQ中點N,連接BN、FN,則為所求二面角的平面角或其補角.
在△FNB中,
――――――11分
即所求平面與平面ABCD所成二面角的平面角為
或
―――――――12分
(說明:答對一個即給滿分)
解法二:設,因為M、O分別為
的中點,∴MO∥
又由直四棱柱知,∴
在棱形ABCD中,,∴OB、OC、OM兩兩垂直,故可以O為原點,OB、OC、OM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,如圖所示。―――――――――2分
若設,則B
,
,
,
,
(1)由F、M分別為中點可知
,M(0,0,1)
∴(1,0,0)=
,又因為
和
不共線,∴
∥OB
又因為,OB
平面ABCD,∴MF∥平面ABCD――――――――5分
(2),而(1,0,0)為平面yOz(亦即平面
)的法向量
∴直線MF⊥平面――――――――――――――――――――――――8分
(3)為平面ABCD的法向量,
設為平面
的一個法向量,則
,
由,
,得:
令y=1,得z=,此時
設平面與平面ABCD所成二面角的大小為
,
則
所以或
,即平面
與平面ABCD所成二面角的大小為
或
――12分
(說明:答對一個即給滿分)
科目:高中數學 來源: 題型:
ON |
ON |
5 |
OM |
OT |
M1M |
N1N |
OP |
OA |
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科目:高中數學 來源: 題型:
(2009湖南卷文)(本小題滿分12分)
為拉動經濟增長,某市決定新建一批重點工程,分別為基礎設施工程、民生工程和產業建設工程三類,這三類工程所含項目的個數分別占總數的、
、
.現有3名工人獨立地從中任選一個項目參與建設.求:
(I)他們選擇的項目所屬類別互不相同的概率; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)至少有1人選擇的項目屬于民生工程的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
(本小題滿分12分)
某民營企業生產A,B兩種產品,根據市場調查和預測,A產品的利潤與投資成正比,其關系如圖1,B產品的利潤與投資的算術平方根成正比,其關系如圖2,
(注:利潤與投資單位是萬元)
(1)分別將A,B兩種產品的利潤表示為投資的函數,并寫出它們的函數關系式.(2)該企業已籌集到10萬元資金,并全部投入到A,B兩種產品的生產,問:怎樣分配這10萬元投資,才能使企業獲得最大利潤,其最大利潤為多少萬元.
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