Question

13．如果直線x=ky-1與圓C：x²+y²+kx+my+2p=0相交，且兩個交點關于直線y=x對稱，那么實數p的取值范圍是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-∞，-\frac{3}{4}}）$
• C． $（{-\frac{3}{4}，+∞}）$
• D． $（{-\frac{3}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 根據圓的性質，得直線x=ky-1與直線y=x垂直且圓心C（-$\frac{k}{2}$，-$\frac{m}{2}$）在直線y=x上，由此解出k=m=-1，從而得到直線和圓的方程，再由圓心C到直線的距離小于半徑，利用點到直線的距離公式即可算出實數p的取值范圍．

解答 解：∵直線x=ky-1與圓C相交，且兩個交點關于直線y=x對稱，
∴圓心C（-$\frac{k}{2}$，-$\frac{m}{2}$）在直線y=x上，可得m=k
∵直線x=ky-1與直線y=x垂直，∴k=m=-1
得直線方程x=-y-1即x+y+1=0，
圓C：x²+y²-x-y+p=0，圓心C（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），半徑R=$\sqrt{\frac{1}{2}-p}$
∵直線x+y+1=0與圓C相交，
∴$\frac{|\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1|}{\sqrt{2}}$＜$\sqrt{\frac{1}{2}-p}$，解之得p＜-$\frac{3}{2}$，
即實數p的取值范圍是（-∞，-$\frac{3}{2}$）．
故選A．

點評 本題給出直線與圓相交且交點關于直線y=x對稱，求參數p的取值范圍，著重考查了點到直線的距離公式、直線與圓的方程、直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．