Question

（2013•虹口區一模）在等比數列{a_n}中，已知a₁a₂=32，a₃a₄=2，則

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

±16

．

Answer 1

分析：設出等比數列{a_n}的首項和公比，然后由a₁a₂=32，a₃a₄=2聯立方程組，求出首項和公比后可得等比數列的前n項和，最后可求前n項和的極限值．

解答：解：設等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q，由a₁a₂=32，a₃a₄=2，得：

a12q=32① a12q5=2②

，
②÷①得：q4=

2

32

=

1

16

=(

1

2

)4，所以，q=±

1

2

．
當q=

1

2

時，代入①得，a₁=±8．
當q=-

1

2

時，不合題意（舍）．
所以，當a₁=8，q=

1

2

時，an=a1qn-1=8×(

1

2

)n-1．
則

lim

n→∞

(a1+a2+a3+…+an)=

lim

n→∞

(8+8×

1

2

+8×

1

4

+…+8×(

1

2

)n-1)
=

lim

n→∞

8×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=

lim

n→∞

16×(1-(

1

2

)n)=16．
當a₁=-8，q=-

1

2

時，an=a1qn-1=-8×(

1

2

)n-1．
則

lim

n→∞

(a1+a2+a3+…+an)=

lim

n→∞

-(8+8×

1

2

+8×

1

4

+…+8×(

1

2

)n-1)
=-

lim

n→∞

8×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=-

lim

n→∞

16×(1-(

1

2

)n)=-16．
所以，

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=±16．
故答案為±16．

點評：本題考查了等比數列的通項公式，考查了等比數列前n項和的求法，考查了分類討論的數學思想，訓練了數列極限的求法，此題是中檔題．