Question

已知函數滿足如下條件：當時，，且對任
意，都有.
（1）求函數的圖象在點處的切線方程；
（2）求當，時，函數的解析式；
（3）是否存在，、、、、，使得等式
成立？若存在就求出（、、、、），若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求出與的值，利用點斜式求出相應的切線方程；（2）利用題中的條件結合迭
代法求出函數在區間上的解析式；（3）構造新函數，考
查函數在區間上的單調性，求出函數在區間上
的最小值，于是得到，然后利用分組求和法與錯位相減法來證明
題中相應的等式.
（1）時，，，
所以，函數的圖象在點處的切線方程為，即；
（2）因為，
所以，當，時，，

；
（3）考慮函數，，，
則，
當時，，單調遞減；
當時，；
當時，，單調遞增；
所以，當，時，，
當且僅當時，.
所以，，
而，
令，則，
兩式相減得，
，
所以，，
故，
所以，，
當且僅當，、、、、時，
，
所以，存在唯一一組實數，、、、、，
使得等式成立.