Question

（本小題滿分14分）

設函數,

（1）求證:不論為何實數在定義域上總為增函數;

（2）確定的值,使為奇函數;

（3）當為奇函數時,求的值域．

 

Answer 1

【答案】

(1) 見解析； (2)  

（3）為奇函數時，其值域為 

【解析】（1）先設x₁＜x₂，欲證明不論a為何實數f（x）總是為增函數，只須證明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；

（2）根據f（x）為奇函數，利用定義得出f（-x）=-f（x）恒成立，從而求得a值即可．

（3）由（2）知，利用指數函數y=2^x的性質結合不等式的性質即可求得f（x）的值域．

(1) 的定義域為R, 設，且,

則=,

, ,

即,所以不論為何實數總為增函數．……………………5分

 (2) 為奇函數, ,即,

整理得 ，

則  ，解得:  

……………………10分

（4）由(2)知,

,,

故當為奇函數時，其值域為……………………14分

另解：由(2)知.

由，得，

當時，得，矛盾，所以；

故有.

當時，，所以，解得.

故當為奇函數時，其值域為………………14分