Question

“a≥0”是“函數f（x）=

x2-2x+a

x

，對任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立”的（　　）

A．充分非必要條件

B．必要非充分條件

C．充要條件

D．既非充分也非必要條件

Answer 1

分析：可對題設中的命題及其逆命題的真假作出判斷，再由充分條件與必要條件的定義得出正確選項，可先寫出原命題與逆命題，根據命題條件與結論的關系進行判斷

解答：解：原命題：若“a≥0”則“函數f（x）=

x2-2x+a

x

，對任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立”是一個真命題，當“a≥0”成立時，對任意x∈[3，+∞），函數在上區間上分母為正，而分子x²-2x+a的值也恒正，故可以得出f（x）＞0恒成立，原命題是真命題；
逆命題，若“函數f（x）=

x2-2x+a

x

，對任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立”則“a≥0”不是真命題，由于x∈[3，+∞），當f（x）＞0恒成立時，x²-2x+a＞0在[3，+∞）上恒成立，即9-6+a＞0，a＞-3，由此知逆命題成立，
由充分條件必要條件的定義知，“a≥0”是“函數f（x）=

x2-2x+a

x

，對任意x∈[3，+∞），f（x）＞0恒成立”的充分不必要條件
故選A

點評：本題考查函數恒成立問題，解題的關鍵是理解函數恒成立時所應滿足的條件，理解充要條件的定義是作出正確判斷的保證