Question

橢圓 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點A關于原點的對稱點為B，F為橢圓的右焦點，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[

π

12

，

π

4

]，則橢圓的離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：設左焦點為F′，根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據B和A關于原點對稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據O是Rt△ABF的斜邊中點可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出

c

a

即離心率e，進而根據α的范圍確定e的范圍．

解答：解：∵B和A關于原點對稱
∴B也在橢圓上
設左焦點為F′
根據橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴

c

a

=

1

sinα+cosα

即e=

1

sinα+cosα

=

1

2 (sin(α+ π 4 )

∵a∈[

π

12

，

π

4

]，
∴

π

3

≤α+π/4≤

π

2

∴

3

2

≤sin（α+

π

4

）≤1
∴

2

2

≤e≤

6

3

故答案為[

2

2

，

6

3

]

點評：本題主要考查了橢圓的性質．解題時要特別利用好橢圓的定義．