Question

橢圓

x2

a2

+y²=1上存在一點P，使得它對兩個焦點F₁，F₂的張角∠F₁PF₂=

π

2

，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  2

  2

  ]
• B．[

  2

  2

  ，1）
• C．（0，

  1

  2

  ]
• D．[

  1

  2

  ，1）

Answer 1

分析：首先根據橢圓方程，求出它的離心率為：e=

a2-1

a

，然后設點橢圓上P的坐標為（x₀，y₀），滿足∠F₁PF₂=

π

2

，利用數量積為0列出關于x₀、y₀和a、c的等式．接下來利用橢圓方程消去y₀，得到關于x₀的式子，再利用橢圓上點橫坐標的范圍：-a≤x₀≤a，建立關于字母a的不等式，最后解此不等式得出a的范圍，代入離心率關于a的表達式，即可得到該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：∵橢圓方程為：

x2

a2

+y²=0，
∴b²=1，可得c²=a²-1，c=

a2-1

∴橢圓的離心率為e=

a2-1

a

又∵橢圓上一點P，使得角∠F₁PF₂=

π

2

，
∴設點P的坐標為（x₀，y₀），結合F₁（-c，0），F₂（c，0），
可得

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀），
∴

PF1

•

PF2

=x02-c2+y02=0…①
∵P（x₀，y₀）在橢圓

x2

a2

+y²=1上，
∴y02=1-

x02

a2

，代入①可得x02-c2+1-

x02

a2

=0
將c²=a²-1代入，得x02-a²-

x02

a2

+2=0，所以x02=

a4-2a2

a2-1

，
∵-a≤x₀≤a
∴0≤x02≤a2，即0≤

a4-2a2

a2-1

≤a2，解之得1＜a²≤2
∴橢圓的離心率e=

a2-1

a

=

1- 1 a2

∈[

2

2

，1）．

點評：本題給出一個特殊的橢圓，在已知橢圓上一點對兩個焦點張角為直角的情況下，求橢圓離心率的取值范圍，著重考查了橢圓的標準方程和簡單幾何性質，屬于中檔題．