Question

已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中P'，P''，P''分別是該幾何體的一個頂點P在三個投影面上的投影，A'，B'，C'，D'分別是另四個頂點A，B，C，D的投影．
（I）從①②兩個圖中選擇出該幾何體的直觀圖；
（II）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（III）設(shè)平面PAD與平面ABC的交線為l，求二面角A-l-B的大小．

Answer 1

分析：（I）觀察三視圖及兩個直觀圖，易知該幾何體對應(yīng)的直觀圖是①；
（II）由直觀圖知，此幾何體中有同一點出發(fā)的三條兩兩垂直的射線，故可建立如圖的空間坐標(biāo)系，利用空間向量求線面角，由圖知，平面平面PBC的一個法向量易知，求出直線PA的方向向量，由公式計算線面角即可；
（III）由（II）中的空間坐標(biāo)系，平面PBC的一個法向量已知，設(shè)

n

=(x，y，z)為平面PAD的一個法向量求出

n

，再由公式求出兩個二面角的夾角；

解答：解：（I）由三視圖知此幾何體是一個四棱錐，且側(cè)面PBC⊥底面ABCD，考察兩個直觀圖，圖①符合實物圖的特征，故①為該幾何體的直觀圖；
（II）依題意，平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABC=BC，取BC中點O連接PO，則PO⊥BC，PO⊥底面ABCD，取AD中點M，則OM⊥BC，如圖建立空間坐標(biāo)系O-XYZ，P（0，0，2），A（2，1，0），

PA

=(2，1，-2)
又平面PBC的一個法向量為

m

=(1，0，0)，cos＜

PA

，

m

＞=

PA • m

| PA || m |

=

2

3

，
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為

2

3

．…9 分
（Ⅲ）∵D（2，-1，0），

DA

=(0，2，0)，

PA

=(2，1，-2)，
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面PAD的一個法向量，則

2y=0 2x+y-2z=0

，取

n

=(1，0，1)
 cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

1

2

∴二面角A-l-B的大小為45°．…13分

點評：本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何證明題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二面角的平面角的做法以及用向量法求二面角的步驟，向量中的方程與立體幾何中位置關(guān)系的對應(yīng)，如數(shù)量積為0與垂直的對應(yīng)，向量的共線與平行的對應(yīng)，向量夾角與線線角，線面角，面面角的對應(yīng)，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想，轉(zhuǎn)化的思想，方程的思想，考查了待定系數(shù)建立方程的技巧，用向量解決立體幾何問題的方法，本題知識性綜合性強(qiáng)，考查空間想像能力，推理判斷能力及轉(zhuǎn)化的能力