Question

經過雙曲線x2-

y2

3

=1的左焦點F₁作傾斜角為

π

6

的直線AB，分別交雙曲線的左、右支為點A、B．
（Ⅰ）求弦長|AB|；
（Ⅱ）設F₂為雙曲線的右焦點，求|BF₁|+|AF₂|-（|AF₁|+|BF₂|）的長．

Answer 1

分析：（I）求出雙曲線的焦點坐標，求出直線的斜率，利用點斜式求出直線方程；將直線的方程代入雙曲線的方程，利用兩點的距離公式求出|AB|．
（Ⅱ）利用雙曲線的定義，即可求|BF₁|+|AF₂|-（|AF₁|+|BF₂|）的長．

解答：解析：（Ⅰ）∵雙曲線的左焦點為F₁（-2，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程可設為y=

3

3

(x+2)，代入方程x2-

y2

3

=1得，8x²-4x-13=0，（4分）
∴x1+x2=

1

2

，x1x2=-

13

8

，
∴|AB|=

1+k2

•|x1-x2|=

1+ 1 3

•

( 1 2 )2+4× 13 8

=3（8分）
（Ⅱ）∵F₂為雙曲線的右焦點，且雙曲線的半實軸長a=1
∴|AF₁|+|BF₂|-（|BF₁|+|AF₂|）=（|AF₁|-|AF₂|）+（|BF₂|-|BF₁|）=4a=4（12分）

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查雙曲線的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．解決直線與圓錐曲線的弦長問題常將直線的方程與圓錐曲線方程聯立，利用弦長公式．