Question

【題目】在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E是AB的中點，F是BC的中點

（1）求證：EF∥平面A1DC1；

（2）若長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，夾在平面A1DC1與平面B1EF之間的幾何體的體積為，求點D到平面B1EF的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）2．

【解析】

（1）因為//，由線線平行，即可推證線面平行；

（2）先根據幾何體的體積求解出長方體的高，再用等體積法求得點到面的距離即可.

（1）證明：由題意，連接AC，如下圖所示：

∵E是AB的中點，F是BC的中點，

∴EF∥AC，

∵四邊形ACC1A1是平行四邊形，

∴AC∥A1C1，

∴EF∥A1C1，

∵A1C1平面A1DC1，

∴EF∥平面A1DC1，即證.

（2）由題意，設長方體的高為h．

∵22＝2，

∴hh．

∵S△BEF11，

∴S△BEFhhh．

∵22h＝4h，

∴4hhhh，

解得h＝2．

又∵EF，DE＝DF，

容易知S△DEF.

∴S△DEFB1B2．

∵EF，B1E＝B1F，

∴S△DEF．

設點D到平面B1EF的距離為d．

∵，

∴d，

解得d＝2．

∴點D到平面B1EF的距離為2．