Question

已知函數f（x）=e^x，g（x）=ax+1（a是不為零的常數，且a∈R）．
（1）討論函數F（x）=f（x）•g（x）的單調性；
（2）當a=-1時，方程f（x）•g（x）=t在區間[-1，1]上有兩個解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意可得F（x）=f（x）g（x）=e^x（ax+1）
∴F′（x）=e^x（ax+a+1）
令∴F′（x）=e^x（ax+a+1）=0
∴x=-

a+1

a

∴當a＞0時F（x）=f（x）•g（x）的單調增區間為（-

a+1

a

，+∞）單調減區間為（-∞，-

a+1

a

）
當a＜0時F（x）=f（x）•g（x）的單調增區間為（-∞，-

a+1

a

）單調減區間為（-

a+1

a

，+∞）
（2）由題意可得當a=-1時，F（x）=f（x）•g（x）=e^x（-x+1）
由（1）可得當a=-1時可以得出F（x）在（-∞，0）上為增函數，在（0，+∞）上為減函數
∴函數的最大值為F（0）=1
又∵方程f（x）•g（x）=t在區間[-1，1]上有兩個解
∴實數t的取值范圍是（-∞，1）．