Question

（2009•浦東新區一模）已知f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數，g(x)=f(x-2)+

1

3

．當x∈[-2，0）∪（0，2]時，g(x)=

1

2|x|-1

 ，  g(0)=0，則方程g(x)=log

1

2

(x+1)的解的個數為

2

．

Answer 1

分析：由已知，g（x）的定義域為x∈[-2，6]，利用f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數，且g(x)=f(x-2)+

1

3

 通過轉化可以 再求出x∈[2，6]時解析式，便確定了g（x），最后結合函數大致圖象得出交點個數，即為解的個數．

解答：解：∵f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數，由x-2∈[-4，4]，得g（x）的定義域為x∈[-2，6]．∵g(x)=

1 2|x-1      x∈[-2，0)∪(0，2] 0      x=0

①
∴f（x-2）=g（x）-

1

3

=

1 2|x-1 - 1 3    x∈[-2，0)∪(0，2] - 1 3     x=0

   x-2∈[-4，0]，當x∈[2，6]時，2-x∈[-4，0]
g(x)=

-f(2-x)+ 1 3 =- 1 2|4-x-1 + 2 3     x∈[2，4)∪(4，6] -f(2)+ 1 3 = 2 3   x=4

②
①②合起來即為函數g（x）在定義域x∈[-2，6]上的解析式，結合y=log

1

2

(x+1)得出兩圖象交點個數是2
即方程g(x)=log

1

2

(x+1)的解的個數為 2
故答案為：2

點評：本題考查函數的奇偶性的應用，分段函數，考查轉化、計算、分類討論、函數與方程的思想方法和能力．