Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ACB=

π

6

．
（Ⅰ）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁側視圖的面積；
（Ⅱ）求證：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）在線段A₁C上是否存在一點P，使PC₁與平面A₁BC所成的角的正弦值為

3

5

？如果存在，求出P點與C點的距離；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB=2，AC=AA₁=4，∠ACB=

π

6

．我們易求出OB的長，代入矩形面積公式，即可得到直三棱柱ABC-A₁B₁C₁側視圖的面積；
（Ⅱ）根據（I）中結論，AB⊥BC結合線面垂直的性質，可得A₁A⊥BC，由線面垂直的判定定理，得到A₁A⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理即可得到平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）以O為原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立空間直角坐標系，求出平面A₁BC的法向量和直線PC₁的方向向量（含參數λ），根據PC₁與平面A₁BC所成的角的正弦值為

3

5

，求出λ值，進而代入點到平面的距離公式，求出答案．

解答：解：（Ⅰ）在平面ABC內，過B點作BO⊥AC，垂足為O．
△ABC中，由正弦定理得sin∠ABC=

AC•sin∠ACB

AB

=1…（2分）
∴∠ABC=90°，則OB=

3

．
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁側視圖的面積為4

3

…（4分）
證明：（Ⅱ）∵∠ABC=90°即AB⊥BC
∵A₁A⊥平面ABC，
∴A₁A⊥BC…（6分）
又A₁A∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁ABB₁
∵BC⊆平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁…（8分）
解：（Ⅲ）以O為原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，建立空間直角坐標系，
則A(0，-1，0)，B(

3

，0，0)，C(0，3，0)，A1(0，-1，4)，C1(0，3，4)，

CA1

=(0，-4，4)．
設

CP

=λ

CA1

=(0，-4λ，4λ)，則

PC1

=

CC1

-

CP

=(0，4λ，4-4λ)…（10分）
設平面A₁BC的法向量為

n

=(x，y，z)
由

BC • n =0 A1C • n=0

即

- 3 x+3y=0 4y-4z=0

，令y=1得x=

3

，z=1，
∴

n

=(

3

，1，1)
|cos?

PC1

，

n

＞|=

| PC1 • n |

| PC1 || n |

=

4

5 16λ2+(4-4λ)2

=

3

5

，
∴λ=

1

3

或λ=

2

3

則P點與C點的距離為

4

3

2

或

8

3

2

．             …（13分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，簡單空間圖形的三視圖，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是求出側視圖的長和寬，（2）的關鍵是證明出A₁A⊥平面ABC，（3）的關鍵是確定出P點的位置．