Question

如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點，F為CE上一點，且DE²=EF•EC．
（Ⅰ）求證：∠P=∠EDF；
（Ⅱ）求證：CE•EB=EF•EP．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據所給的乘積式和對應角相等，得到兩個三角形相似，由相似得到對應角相等，再根據兩直線平行內錯角相等，角進行等量代換，得到要證的結論．
（2）根據第一問所得的結果和對頂角相等，得到兩個三角形相似，根據三角形相似得到對應線段成比例，把比例式轉化為乘積式，再根據相交弦定理得到比例式，等量代換得到結果．
解答：證明：（1）∵DE²=EF•EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．
∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，
∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．
∴DE：PE=EF：EA．
即EF•EP=DE•EA．
∵弦AD、BC相交于點E，
∴DE•EA=CE•EB．
∴CE•EB=EF•EP．
點評：本題考查三角形相似的判定和性質，考查兩條直線平行的性質定理，考查相交弦定理，是一個比較簡單的綜合題目．