Question

如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點，F為CE上一點，且DE²=EF•EC．
（1）求證：∠P=∠EDF；
（2）求證：CE•EB=EF•EP；
（3）若CE：BE=3：2，DE=6，EF=4，求PA的長．

Answer 1

分析：（1）根據所給的乘積式和對應角相等，得到兩個三角形相似，由相似得到對應角相等，再根據兩直線平行內錯角相等，角進行等量代換，得到要證的結論．
（2）根據所得的結果和對頂角相等，得到兩個三角形相似，根據三角形相似得到對應線段成比例，把比例式轉化為乘積式，再根據相交弦定理得到比例式，等量代換得到結果．
（3）根據所給的等積式和所給的線段的長度，代入數值求出BE的長度，再求出EP的長度，最后根據切割線定理做出PA的長度．

解答：解 （1）∵DE²=EF•EC，
∴DE：CE=EF：ED．
∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．
∵弦AD、BC相交于點E，∴DE•EA=CE•EB．∴CE•EB=EF•EP．
（3）∵DE²=EF•EC，DE=6，EF=4，∴EC=9．
∵CE：BE=3：2，∴BE=6．
∵CE•EB=EF•EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=

27

2

．
∴PB=PE-BE=

15

2

，PC=PE+EC=

45

2

．
由切割線定理得：PA²=PB•PC，
∴PA²=

15

2

×

45

2

．∴PA=

15

2

3

．

點評：本題考查三角形相似的判定和性質，考查兩條直線平行的性質定理，考查相交弦定理和切割線定理，本題是一個中檔題目．