Question

已知雙曲線x²-y²=2的左、右焦點分別為F₁，F₂，過點F₂的動直線與雙曲線相交于A，B兩點．
（I）若動點M滿足

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

（其中O為坐標原點），求點M的軌跡方程；
（II）在x軸上是否存在定點C，使

CA

•

CB

為常數？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

由條件知F₁（-2，0），F₂（2，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
（I）設M（x，y），則

F1M

=(x+2，y)，

F1A

=(x1+2，y1)，

F1B

=(x2+2，y2)，

F1O

=(2，0)，
由

F1M

=

F1A

+

F1B

+

F1O

，得

x+2=x1+x2+6 y=y1+y2

，即

x1+x2=x-4 y1+y2=y

，
于是AB的中點坐標為(

x-4

2

，

y

2

)，
當AB不與x軸垂直時，

y1-y2

x1-x2

=

y 2

x-4 2 -2

=

y

x-8

，即y1-y2=

y

x-8

(x1-x2)，
又因為A，B兩點在雙曲線上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，
兩式相減得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x-4）=（y₁-y₂）y，
將y1-y2=

y

x-8

(x1-x2)代入上式，化簡得（x-6）²-y²=4，
當AB與x軸垂直時，x₁=x₂=2，求得M（8，0），也滿足上述方程，
所以點M的軌跡方程是（x-6）²-y²=4．

（II）假設在x軸上存在定點C（m，0），使

CA

•

CB

為常數，
當AB不與x軸垂直時，設直線AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1），
代入x²-y²=2有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0
則x₁，x₂是上述方程的兩個實根，所以x1+x2=

4k2

k2-1

，x1x2=

4k2+2

k2-1

，
于是

CA

•

CB

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+4k²+m²
=

(k2+1)(4k2+2)

k2-1

-

4k2(2k2+m)

k2-1

+4k2+m2
=

2(1-2m)k2+2

k2-1

+m2
=2(1-2m)+

4-4m

k2-1

+m2．
因為

CA

•

CB

是與k無關的常數，所以4-4m=0，即m=1，此時

CA

•

CB

=-1，
當AB與x軸垂直時，點A，B的坐標可分別設為(2，

2

)，(2，-

2

)，
此時

CA

•

CB

=(1，

2

)•(1，-

2

)=-1，
故在x軸上存在定點C（1，0），使

CA

•

CB

為常數．