Question

已知橢圓C：=1（a>b>1）的離心率為e=，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線
x-y+2=0相切，A，B分別是橢圓的左右兩個(gè)頂點(diǎn)，P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)。
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若P與A，B均不重合，設(shè)直線的斜率分別為k₁，k₂，求k₁·k₂的值；
（3）M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，若，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

Answer 1

解：(1)由題意可得圓的方程為，∵直線x-y+2=0與圓相切
∴d==b
即b=，又，即a=c，，得a=，c=1
所以橢圓方程為：
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），A（-，0），則，即
則，即
∴k₁·k₂的值為；
（3）設(shè)M（x，y），其中x∈[-，]
由已知及點(diǎn)P在橢圓C上可得
整理得，其中x∈[-，]
①當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得y²=6，所以點(diǎn)M的軌跡方程為，
軌跡是平行于x軸的線段；
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在x軸上的橢圓滿足的部分。