Question

7．四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）求證：平面PBC⊥平面PCD；
（2）若M為線段PC上一點，且$\overrightarrow{PM}$=2$\overrightarrow{MC}$，求線段AM與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取Q為側棱PC中點，取PD的中點E，連AE、EQ、BQ，∵Q、E分別為PC、PD的中點，證明BQ∥AE．只需證AE⊥平面PCD，通過證明PA⊥CD．AD⊥CD，推出CD⊥平面PAD．得到CD⊥AE，AE⊥PD，推出AE⊥平面PCD．如何證明平面PBC⊥平面PCD．
（2）建立空間直角坐標系，設PA=AB=AD=1，CD=2，求出相關點的坐標，平面PBC的法向量，求出$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）．設所求線面角為θ，利用數量積求解即可．

解答 證明：（1）取Q為側棱PC中點
如圖，取PD的中點E，連AE、EQ、BQ

∵Q、E分別為PC、PD的中點，∴EQ為△PCD的中位線，
∴EQ∥AB且EQ=AB，
∴四邊形ABQE為平行四邊形，則BQ∥AE．
只需證AE⊥平面PCD
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD．
又∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
∵PA=AD，E為PD中點，∴AE⊥PD?
∵CD∩PD=D，∴由??得AE⊥平面PCD．
∵BQ∥AE，∴BQ⊥平面PCD．
∵BQ?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PCD．
（2）如圖所示建立空間直角坐標系，

設PA=AB=AD=1，CD=2，則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，2，0），P（0，0，1）
則$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（1，1，0）．
設平面PBC的法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，則
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{y-z=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，不妨令x=-1，∴$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1）．
由$\overrightarrow{PM}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{PC}$，有M（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），∴$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
設所求線面角為θ，則sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AM}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{21}{9}}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴所求線面角的正弦值為$\frac{{\sqrt{7}}}{7}$．

點評 本題考查直線與平面所成角的求法，平面與平面垂直的判定定理以及直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力、邏輯推理能力以及計算能力．