Question

要獲得某項英語資格證書必須依次通過聽力和筆試兩項考試，只有聽力成績合格時，才可繼續參加筆試的考試．已知聽力和筆試各只允許有一次不考機會，兩項成績均合格方可獲得證書．現某同學參加這項證書考試，根據以往模擬情況，聽力考試成績每次合格的概率均為，筆試考試成績每次合格的概率均為，假設各次考試成績合格與否均互不影響．
（1）求他不需要補考就可獲得證書的概率；
（2）求他恰好補考一次就獲得證書的概率；
（3）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數為ξ，求參加考試次數ξ的分布列和期望值．

Answer 1

【答案】分析：設“聽力第一次考試合格”為事件A₁，“聽力補考合格”為事件A₂；“筆試第一次考試合格”為事件B₁“筆試補考合格”為事件B₂
（1）不需要補考就獲得證書的事件為．A₁•B₁，且A₁與B₁相互獨立，根據相互獨立事件的概率公式可求
（2）他恰好補考一次就獲得證書，即為事件，根據相互獨立事件與互斥事件的概率公式可求
（3）由已知得，ξ=2，3，4
而ξ=2即為        ξ=3 即為 A₁••+•A₂•B₂
ξ=4，即為•A₂••B₂+••
解答：解：設“聽力第一次考試合格”為事件A₁，“聽力補考合格”為事件A₂；“筆試第一次考試合格”為事件B₁“筆試補考合格”為事件B₂．（1分）
（1）不需要補考就獲得證書的事件為A₁•B₁，注意到A₁與B₁相互獨立，
則P（A₁•B₁）=P（A₁）×P（B₁）=×=．A₁•B₁
答：該考生不需要補考就獲得證書的概率為．（3分）
（2）恰好補考一次的事件是（4分）
則P（）=P（）+P（）
===（7分）
（3）由已知得，ξ=2，3，4，（8分）
注意到各事件之間的獨立性與互斥性，可得
P（ξ=2）=P（A₁•B₁）+P（）=×+×=+=（10分）
P（ξ=3）=P（A₁••）+P（•A₂•B₂）=（12分）
P（ξ=4）=P（•A₂••B₂）+P（•A₂••）=×=+=（13分）
參加考試次數ξ的期望值（14分）
點評：本題主要考查了相互獨立事件的 概率的求解公式的運用：若事件A，B相互獨立，則A與，；P（AB）=P（A）P（B）；還考查了對一些復雜事件的分解：即對一個事件分解成幾個互斥事件的和，本題是把相互獨立與互斥結合的綜合考查．