Question

等比數列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₀=4，函數f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₀），則函數f（x） 在點（0，0）處的切線方程為

y=2²⁰¹⁰x

．

Answer 1

分析：由數列{a_n}為等比數列，利用等比數列的性質得到a₁a₂₀₁₀=a₂a₂₀₀₉=…=a₁₀₀₅a₁₀₀₆，把已知的a₁=1，a₂₀₁₀=4代入，求出a₁a₂₀₁₀，a₂a₂₀₀₉，…，a₁₀₀₅a₁₀₀₆的值，然后由函數解析式，利用求導法則求出f′（x），并把x=0代入導函數中，表示出f′（0），利用乘法運算律整理后，將求出的a₁a₂₀₁₀，a₂a₂₀₀₉，…，a₁₀₀₅a₁₀₀₆的值代入，利用同底數冪的運算法則化簡后，得出f′（0）的值，即為函數在（0，0）處的斜率，進而確定出函數f（x） 在點（0，0）處的切線方程．

解答：解：∵等比數列{a_n}中，a₁=1，a₂₀₁₀=4，
∴a₁a₂₀₁₀=a₂a₂₀₀₉=…=a₁₀₀₅a₁₀₀₆=4=2²，
且f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₂₀₁₀），
∴f′（0）=（-a₁）•（-a₂）•…•（-a₂₀₁₀）=a₁•a₂•…•a₂₀₁₀，
=（a₁a₂₀₁₀）•（a₂a₂₀₀₉）•…•（a₁₀₀₅a₁₀₀₆）
=2²•2²•…•2²（1005個2²相乘）=2^1005×2=2²⁰¹⁰，
∴函數f（x） 在點（0，0）處的切線方程y-0=2²⁰¹⁰（x-0），即y=2²⁰¹⁰x．
故答案為：y=2²⁰¹⁰x

點評：此題考查了等比數列的性質，求導法則，利用導數研究曲線上某點的切線方程，以及直線的點斜式方程，其中利用等比數列的性質及求導法則求出f′（0）的值即切線方程的斜率是解本題的關鍵．