Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC為等腰直角三角形，側樓AA₁⊥底面ABC，AB=BC=CC₁=4，N為AC的中點，M為BC的中點．
（1）求證：A₁B₁∥平面MNC₁
（2）求二面角C₁-MN-C的正切值的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）利用三角形的中位線的性質，證明MN∥AB，可得B₁∥MN，利用線面平行的判定定理，即可證明A₁B₁∥平面MNC₁
（2）由題意，∠C₁MC是二面角C₁-MN-C的平面角，從而可求二面角C₁-MN-C的正切值的大�。�

解答： （1）證明：∵N為AC的中點，M為BC的中點，
∴MN∥AB，
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，
∴A₁B₁∥AB，
∴A₁B₁∥MN，
∵A₁B₁?平面MNC₁，MN?平面MNC₁，
∴A₁B₁∥平面MNC₁；
（2）解：由題意，∠C₁MC是二面角C₁-MN-C的平面角．
∵BC=CC₁=4，M為BC的中點，
∴二面角C₁-MN-C的正切值為2．

點評：本題考查線面平行的判定，考查二面角C₁-MN-C的正切值，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．