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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=3，AD=4，AB=5，則直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角的正弦值是

．

分析：取B₁C 的中點H，由長方體的性質知，則BH⊥面A₁B₁CD，∠BA₁H 為直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角，直角三角形中使用邊角關系求出此角的正弦值．

解答：解：取B₁C 的中點H，則BH⊥面A₁B₁CD，∠BA₁H 為直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角，Rt△BA₁H 中，
sin∠BA₁H=

A1B

32+42

32+52

，
∴直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角的正弦值是

．

點評：求直線與平面成的角，關鍵是找出直線在平面內的射影．

練習冊系列答案

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在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，過A₁、C₁、B三點的平面截去長方體的一個角后，得到如圖所示的幾何體ABCD-A₁C₁D₁，且這個幾何體的體積為10．
（1）求棱A₁A的長；
（2）求點D到平面A₁BC₁的距離．

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如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=A₁A=a，BC=

a，M是AD中點，N是B₁C₁中點．
（1）求證：A₁、M、C、N四點共面；
（2）求證：BD₁⊥MCNA₁；
（3）求證：平面A₁MNC⊥平面A₁BD₁；
（4）求A₁B與平面A₁MCN所成的角．

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長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=4，AA₁=5 則三棱錐A₁-ABC的體積為（　�。�

A、10

B、20

C、30

D、35

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如圖，已知多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁，它是由一個長方體ABCD-A'B'C'D'切割而成，這個長方體的高為b，底面是邊長為a的正方形，其中頂點A₁，B₁，C₁，D₁均為原長方體上底面A'B'C'D'各邊的中點．
（1）若多面體面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA₁的中點，求證：OE∥平面A₁C₁C；
（2）若a=4，b=2，求該多面體的體積；
（3）當a，b滿足什么條件時AD₁⊥DB₁，并證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側棱BB₁的中點．
（1）求證：A₁E⊥平面ADE；
（2）求三棱錐A₁-ADE的體積．

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