Question

已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，且PD⊥底面ABCD，其中PD=AD=a．
（1）求二面角A-PB-D的大小；
（2）在線段PB上是否存在一點E，使PC⊥平面ADE．若存在，試確定E點的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設AC交BD于O，作OF⊥PB于F，連接AF，則∠OFA是二面角A-PB-D的平面角，可得結論；
（2）當E是PB中點時，PC⊥平面ADE．取PC的中點H，連接EH，DH，可證結論成立．

解答：解：（1）設AC交BD于O，則
∵AC⊥BD，AC⊥PD，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD
作OF⊥PB于F，連接AF，則AF⊥PB
∴∠OFA是二面角A-PB-D的平面角
∵AB⊥PB，PA=

2

a，AB=a，PB=

3

a
∴AF=

PA•AB

PB

=

6

3

a
∴sin∠OFA=

AO

AF

=

3

2

∴∠OFA=60°
∴二面角A-PB-D的平面角是60°；
（2）當E是PB中點時，PC⊥平面ADE．
證明：取PC的中點H，連接EH，DH，則EH∥BC
∴EH∥AD，故平面ADE即平面ADHE
∵AD⊥CD
∴AD⊥PC
∵PC⊥DH，AD∩DH=D
∴PC⊥平面ADHE
∴PC⊥平面ADE．

點評：本題考查面面角，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．