Question

定義在（-1，1）上的函數f（x）滿足：f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)；當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0；若P=f(

1

5

) +f(

1

11

) +••+f(

1

r2+r-1

) +…+f(

1

20092+2009-1

)，Q=f（

1

2

），R=f（0）；則P，Q，R的大小關系為（　　）

• A、R＞Q＞P
• B、P＞R＞Q
• C、R＞P＞Q
• D、不能確定

Answer 1

分析：函數f（x）滿足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）；當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0；證明函數是奇函數，以及它的單調性，根據f（

1

r2 +r-1

）=f（

1

r(r+1)-1

）=f（

1 r - 1 r+1

1- 1 r • 1 r+1

）=f（

1

r

）-f（

1

r+1

）對p進行化簡，再根據單調性比較P，Q，R的大小．

解答：解：∵函數f（x）滿足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

）；當x∈（-1，0）時，有f（x）＞0；
∴f（x）在（-1，1）為奇函數，單調減函數，且在（-1，0）時，f（x）＞0，在（0，1）時f（x）＜0；∴R=f（0）=0，Q=f（

1

2

）＜0＜R，
∵f（

1

r2 +r-1

）=f（

1

r(r+1)-1

）=f（

1 r - 1 r+1

1- 1 r • 1 r+1

）=f（

1

r

）-f（

1

r+1

），
∴P=f（

1

5

）+f（

1

11

）+…+f（

1

r2+r-1

）+…+f（

1

20092+2009-1

），Q=f（

1

2

），
=[f（

1

2

）-f（

1

3

）]+[f（

1

3

）-f（

1

4

）]+…+[f（

1

2009

）-f（

1

2010

）]=f（

1

2

）-f（

1

2010

）
=Q-f（

1

2010

）＞Q，
P=f（

1

2

）-f（

1

2010

）＜0＜R，
故選C．

點評：對于抽象函數的解決方法，通常采取賦值法，把抽象的數學問題轉化為熟悉的數學問題加以解決，命題的立意新，特別是對P=f(

1

5

) +f(

1

11

) +••+f(

1

r2+r-1

) +…+f(

1

20092+2009-1

)轉化是難點，屬中檔題．