Question

命題：?x∈[0，

π

3

]，使3cos2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

＜a+

3

2

成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．（1，+∞）
• B．(

  3

  2

  ，+∞)
• C．(

  3

  2

  ，+∞)
• D．(

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：利用兩角和與差的正弦將3cos2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

＜a+

3

2

轉化為a＞

3

sin（x+

π

3

），從而可求得答案．

解答：解：∵3cos2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

＜a+

3

2

，
∴3×

1+cosx

2

+

3

2

sinx＜a+

3

2

，
∴a＞

3

2

sinx+

3

2

cosx=

3

sin（x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

3

]，
∴

π

3

≤x+

π

3

≤

2π

3

，
∴

3

2

≤sin（x+

π

3

）≤1，
∴

3

2

≤

3

sin（x+

π

3

）≤

3

，
∴a＞

3

．
故選D．

點評：本題考查兩角和與差的正弦函數，考查二倍角的正弦與余弦，考查恒成立問題，屬于中檔題．