Question

有下列命題：
①x=0是函數y=x³的極值點；
②三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值點的充要條件是b²-3ac＞0；
③奇函數f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n在區間（-4，4）上是單調減函數；
④若函數g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010），則g′（2010）=2009．
其中真命題的個數有（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：①利用極值的定義去判斷．②利用函數取得極值的充要條件進行判斷．
③利用奇函數的定義先確定m的值，然后利用導數研究函數的單調性．④利用導數公式進行求值．

解答：解：①因為函數的導數f'（x）=3x²≥0，即函數y=x³單調遞增，所以函數無極值，所以①錯誤．
②三次函數的導數為f'（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），要使函數f（x）=ax³+bx²+cx+d有極值點，則f'（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），有變號零點，
所以△＞0，即4b²-4×3ac＞0，即b²-3ac＞0，所以②正確．
③因為f（x）=mx³+（m-1）x²+48（m-2）x+n為奇函數，所以m-1=0且n=0，所以m=1且n=0，所以函數f（x）=x³-48x．
f'（x）=3x²-48=3（x²-16），當x∈（-4，4）時，f'（x）＜0，此時函數單調遞減，所以③正確．
④g（x）=（x-1）（x-2）…（x-2009）（x-2010）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]（x-2010），
所以g'（x）=[（x-1）（x-2）…（x-2009）]'（x-2010）+[（x-1）（x-2）…（x-2009）]，
所以g′（2010）=2009×2008×…×1=2009!所以④正確．
故選D．

點評：本題主要考查命題的真假判斷以及利用導數研究函數的性質，綜合性較強，運算量較大．