Question

已知向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)．
（1）若

OM

=

a

+

b

（O為坐標原點），求M點的軌跡方程；
（2）若

a

⊥

b

，求

cos( π 2 -α)cos(π+α)sin(α- 7π 2 )

cos(2π-α)

的值．

Answer 1

分析：（1）由向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)，

OM

=

a

+

b

，知

OM

=(2，1)+(sinα，sinα)=（2+sinα，1+sinα），由此能求出M點的軌跡方程．
（2）由向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)，

a

⊥

b

，知sinα=0，由此利用誘導公式能求值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)，

OM

=

a

+

b

，
∴

OM

=(2，1)+(sinα，sinα)=（2+sinα，1+sinα），
∵O為坐標原點，
∴M點坐標是（2+sinα，1+sinα），
∴

x=2+sinα y=1+sinα

，∴x-2=y-1，即x-y-1=0，
∴M點的軌跡方程是x-y-1=0．
（2）∵向量

a

=(2，1)，向量

b

= (sina，sina)，

a

⊥

b

，
∴2sinα+sinα=0，即sinα=0，
∴

cos( π 2 -α)cos(π+α)sin(α- 7π 2 )

cos(2π-α)

=

sinα(-cosα)cosα

cosα

=0．

點評：本題考查平面向量的綜合題，解題時要認真審題，注意平面向量的坐標運算和誘導公式的合理運用．