Question

（08年周至二中四模理）( 12分)

如圖，矩形ABCD與ADQP所在平面垂直，將矩形ADQP沿PD對折，使得翻折后點Q落在BC上，設AB=1，PA=h，AD=y.

(1)試求y關于h的函數解析式；

(2)當y取最小值時，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面PDQ所成的角；

(3)在條件(2)下，求三棱錐P―ADQ內切球的半徑.

Answer 1

解析：(1)顯然h＞1，連接AQ，

∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD，

∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,

∴AQ⊥DQ,AQ=y²－h².

∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ=,

∴,即.    ∴y=(h＞1)                   4分

(2)y== =+≥2,                                          6分

當且僅當,即h=時，等號成立.

此時CQ=1,即Q為BC的中點，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交線，則過A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD與平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°.                                                               8分

(3)設三棱錐P－ADQ的內切球半徑為r,

則(S_△PAD+S_△PAQ+S_△PDQ+S_△ADQ)?r=V_P－ADQ .

∵V_P－ADQ=S_△ADQ?PA=,S_△PAQ=1,     S_△PAD=,S_△QAD=1,S_△PDQ=,

∴r=.                                                                                      12分