Question

3．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-2lnx+a（a∈R），g（x）=-x²+3x-4．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）設a=0，直線x=t與f（x），g（x）的圖象分別交于點M、N，當|MN|達到最小值時，求t的值；
（3）若對于任意x∈（m，n）（其中n-m≥1），兩個函數圖象分別位于直線l：x-y+s=0的兩側（與直線l無公共點），則稱這兩個函數存在“EN通道”．試探究：f（x）與g（x）是否存在“EN通道”，若存在，求出x的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據導數和函數的單調性的關系即可求出；
（2）根據題意構造函數h（x）=f（x）-g（x），利用導數求此函數的最小值，確定對應的自變量x的值，即可得到結論；
（3）探究是否有斜率為的平行切線即可．

解答 解：（1）函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-2lnx+a的導數為：函數f′（x）=x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2}{x}$ （x＞0）．
當x∈（0，$\sqrt{2}$）時，f′（x）＜0，當x∈（$\sqrt{2}$，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數f（x）的減區間為：（0，$\sqrt{2}$），增區間為：（$\sqrt{2}$，+∞）．
（2）a=0時，設函數h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{3}{2}$x²-3x-2lnx+4，函數的定義域（0，+∞），
h′（x）=$\frac{3{x}^{2}-3x-2}{x}$，令h′（x）=0⇒x=$\frac{3+\sqrt{33}}{6}$，
當x$∈（0，\frac{3+\sqrt{33}}{6}）$時，函數h（x）遞減x$∈（\frac{3+\sqrt{33}}{6}，+$∞）時函數h（x）遞增，所以x=$\frac{3+\sqrt{33}}{6}$時，h（x）最小．
∴當|MN|達到最小值時，t的值為$\frac{3+\sqrt{33}}{6}$．
（3）設函數f（x）的斜率為1的切線的切點為A（x₀，y₀），∵$f′（{x}_{0}）={x}_{0}-\frac{2}{{x}_{0}}=1$⇒x₀=2，⇒A（2，2-2ln2+a）
設函數g（x）的斜率為1的切線的切點為B（x₁，y₁），g′（x₁）=-2x₁+3=1⇒x₁=1，⇒B（1，-2），
有（1）可知函數f（x）的減區間為：（0，$\sqrt{2}$），增區間為：（$\sqrt{2}$，+∞）．又因為g（x）=-x²+3x-4在（0，$\frac{3}{2}$）遞增，在（$\frac{3}{2}，+∞）$遞減，
所以f（x）與g（x）存在“EN通道“，過點A、B的切線分別為y=x+a-2ln2、y=x-3，依題意只需a-2ln2＞-3⇒a＞2ln2-3．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，難度較大