Question

探究函數f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）取最小值時x的值，列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題：
（1）函數（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）上遞減；函數f（x）在區間

[2，+∞）

上遞增．當x=

2

 時，y_min=

4

．
（2）證明：函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）上遞減．

Answer 1

分析：（1）直接通過觀察圖表得到結論；
（2）利用函數單調性的定義，在（0，2）內任取兩個不同的值，規定大小后，對相應的函數值作差判符號．

解答：解：①由表格可知，函數f（x）在[2，+∞）上遞增，當x=2時函數取得最小值4．
故答案為[2，+∞）；2；4．
②證明：設x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，則
f(x1)-f(x2)=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)
=(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

∵x₁，x₂∈（0，2），x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂∈（0，4）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f(x)=x+

4

x

在區間（0，2）上遞減．

點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，解答的關鍵是對函數值差的符號的判斷，是基礎題．