Question

若log₄（x+2y）+log₄（x-2y）=1，則|x|-|y|的最小值是

3

．

Answer 1

分析：由函數的圖象的對稱性知，只考慮y≥0的情況即可，因為x＞0，所以只須求x-y的最小值．令x-y=u代入x²-4y²=4中，由判別式大于或等于零求出u的最小值，即為所求．

解答：解：由題意可得 

x+2y＞0 x-2y＞0 (x+2y)(x-2y)=4

⇒

x＞2|y|≥0 x2-4y2=4

，即 x²-4y²=4，即

x2

4

-y²=1，
表示焦點在x軸上的雙曲線，曲線關于x軸、y軸、原點都是對稱的．
由函數的圖象的對稱性知，只考慮y≥0的情況即可，因為x＞0，所以只須求x-y的最小值．
令x-y=u代入x²-4y²=4中，有3y²-2uy+（4-u²）=0，
∵y∈R，∴△≥0，解得u≥

3

．
∴當x=

4

3

3

，y=

3

3

時，u=

3

，故|x|-|y|的最小值是

3

．
故答案為

3

．

點評：本小題主要考查函數與函數的圖象，函數圖象的對稱性的應用，求函數的最值，屬于基礎題．