Question

【題目】圓x2＋y2＝1上任意一點P，過點P作兩直線分別交圓于A，B兩點，且∠APB＝60°，則|PA|2＋|PB|2的取值范圍為___．

Answer 1

【答案】(5，6]

【解析】

過點P做直徑PQ，如圖，根據(jù)題意可得：|PQ|＝2.

令∠APQ＝θ，則∠BPQ＝－θ.由題意可知：0<θ<.

那么，|PA|＝|PQ|cos θ＝2cos θ，

|PB|＝|PQ|cos＝2cos.

|PA|2＋|PB|2＝(2cos θ)2＋＝4

＝4＝4cos2θ＋

＝2cos2θ＋2sin θcos θ＋3

＝sin 2θ＋cos 2θ＋4＝2+4

＝2sin＋4.

∵0<θ<，

∴0<2θ<，

∴<2θ＋<，

∴<sin≤1.

∴5<2sin＋4≤6.

因此，|PA|2＋|PB|2的取值范圍為(5，6]．