Question

已知橢圓的頂點與雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的焦點重合，它們的離心率之和為

5

2

，若橢圓的焦點在x軸上，求橢圓的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的焦點，即為橢圓的頂點，即可得到a，求出雙曲線的離心率，可得橢圓的離心率，由離心率公式，可得c，再由a，b，c的關系，求得b，進而得到橢圓方程．

解答： 解：雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1的焦點為（±4，0），
則橢圓的頂點為（±4，0），
由橢圓的焦點在x軸上，則a=4，
雙曲線的離心率為

4

2

=2，
由于它們的離心率之和為

5

2

，
則橢圓的離心率為

1

2

，即有c=2，
b=

a2-c2

=

16-4

=2

3

．
則有橢圓方程為

x2

16

+

y2

12

=1．

點評：本題考查橢圓和雙曲線的方程和性質，考查離心率公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．