Question

已知圓M過兩點(diǎn)C（1，-1）、D（-1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上．
（1）求圓M的方程；
（2）設(shè)P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓M的兩條切線，A、B為切點(diǎn)，求四邊形PAMB的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓M過兩點(diǎn)C（1，-1）、D（-1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上，建立方程組，即可求圓M的方程；
（2）四邊形PAMB的面積為S=2

|PM|2-4

，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x+4y+8=0上找一點(diǎn)P，使得|PM|的值最小，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)圓M的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根據(jù)題意得

(1-a)2+(-1-b)2=r2 (-1-a)2+(1-b)2=r2 a+b-2=0

，解得：a=b=1，r=2，
故所求圓M的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）由題知，四邊形PAMB的面積為S=S_△PAM+S_△PBM=

1

2

（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|²=|PM|²-|AM|²=|PM|²-4，
即S=2

|PM|2-4

．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x+4y+8=0上找一點(diǎn)P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|_min=

3+4+8

5

=3，所以四邊形PAMB面積的最小值為2

|PM|2-4

=2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查四邊形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．