Question

已知圓M過兩點C（1，-1），D （-1，1），且圓心M在x+y-2=0上
（1）求圓M的方程  
（2）設P是直線l：3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積S的最小值 
（3）當S取最小值時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）設出圓的標準方程，利用圓M過兩點C（1，-1）、D（-1，1）且圓心M在直線x+y-2=0上，建立方程組，即可求圓M的方程；
（2）四邊形PAMB的面積為S=2

|PM|2-4

，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直線3x+4y+8=0上找一點P，使得|PM|的值最小，利用點到直線的距離公式，即可求得結論；
（3）由（2）知，當PM垂直直線AB時，面積最小，由此可求當四邊形PAMB的面積最小時點P的坐標，
再由P，A，B，M共圓，進而得到兩圓公共弦AB的直線方程．

解答：解：（1）設圓M的方程為：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根據題意得

(1-a)2+(-1-b)2=r2  (-1-a)2+(1-b)2=r2    a+b-2=0

，解得：a=b=1，r=2，
故所求圓M的方程為：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）由題知，四邊形PAMB的面積為S=S_△PAM+S_△PBM=

1

2

（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|²=|PM|²-|AM|²=|PM|²-4，
即S=2

|PM|2-4

．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x+4y+8=0上找一點P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|_min=

3+4+8

5

=3，所以四邊形PAMB面積的最小值為2

|PM|2-4

=2

5

；
（3）由（2）知，當PM垂直直線AB時，面積最�。�
此時PM：4（x-1）-3（y-1）=0，即4x-3y-1=0，
設P（x，y），于是由

3x+4y+8=0 4x-3y-1=0

，得

x=- 4 5 y=- 7 5

，
而P，A，B，M共圓且該圓以PM為直徑，
故圓的方程為（x-1）（x+

4

5

）+（y-1）（y+

7

5

）=0．
又由AB為兩圓的公共弦，
故直線的方程為9x+12y-1=0．

點評：本題考查圓的標準方程，考查四邊形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．