Question

已知數列{a_n},{b_n}滿足:a₁=1,a₂=k(k為常數且k≠0)，且b_n=a_n·a_n+1,n∈N₊.

(1)若{a_n}是等比數列，試求數列{b_n}的前n項和S_n的表達式；

（2）若{b_n}是等比數列，探求數列{a_n}是否為等比數列,并說明理由.

Answer 1

解析：（1）因為{a_n}是等比數列,a₁=1,a₂=k,所以k≠0,a_n=k^n-1.又b_n=a_n·a_n+1,所以b₁=a₁·a₂=k,，即{b_n}是以k為首項，k²為公比的等比數列，所以Sn=

（2）設{b_n}的公比為q,則又a₁=1,a₂=k(k≠0)，所以a₁,a₃,a₅,…,a_2n-1,…是以1為首項，q為公比的等比數列，a₂,a₄,a₆,…,a_2n,…是以k為首項，q為公比的等比數列，即{a_n}為1，k,q,kq,q²,kq²,…,q^n-1,kq^n-1,….當，即k²=q時，{a_n}為等比數列，當q≠k²時，{a_n}不為等比數列.