Question

已知奇函數y＝f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，且滿足條件：①當x＞0時，f(x)＜0；②對于任意實數x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)根據函數單調性的定義，證明y＝f(x)是減函數；

(2)若x＞0時不等式f(ax－2)＋f(x－x²)＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：設－∞＜x1＜x2＜＋∞，則x2－x1＞0．由條件①，有f(x2－x1)＜0．　　∵f(x)是奇函數，∴－f(x1)＝f(－x1)． 　　由條件②，有f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)． 　　∴f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＜0． 　　∴f(x2)＜f(x1)．　　∴f(x)在定義域上是減函數． 　　(2)解：由條件②，令x＝y＝0，則有 　　f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0． 　　對x＞0時不等式f(ax－2)＋f(x－x2)＞0恒成立即是 　　f(ax－2＋x－x2)＞0＝f(0)恒成立． 　　又∵f(x)是減函數，∴ax－2＋x－x2＜0在x＞0時恒成立． 　　∴ax＜x2＋2－x(x＞0)　　∴a＜x＋－1對于x＞0恒成立． 　　∴a應小于函數y＝x＋－1(x＞0)的最小值． 　　而y＝x＋－1≥－1＝－1，當x＝時取得最小值． 　　∴a＜－1．　　∴a的取值范圍為(－∞，－1)．