Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD與CA延長線交于E點，EF⊥BA延長線于F，若∠AED=30°
（I）求∠AFD的大小；
（II）求證：AB²=BE•BD-AE•AC．

Answer 1

分析：（I）先根據AB為直徑，則∠ADB=90°；再結合EF⊥BA得到∠EFA=∠ADB=90°；可以得A、D、E、F四點共圓進而求出∠AFD的大小；
（II）先根據A、D、E、F四點共圓得BE•BD=BF•BA；再結合RT△AEF∽RT△ABC得AE•AC=BA•AF；最后代入所證等式得右邊，整理即可得到結論．

解答：解：（Ⅰ）連接AD，由于AB為直徑，則∠ADB=90°，
又EF⊥BA，
∴∠EFA=∠ADB=90°；
則A、D、E、F四點共圓，
則∠AFD=∠AED=30°
證明：（Ⅱ） 由A、D、E、F四點共圓，
得BE•BD=BF•BA
連接BC，
由對頂角相等，則RT△AEF∽RT△ABC，
則AE•AC=BA•AF
從而BE•BD-AE•AC=BF•BA-BA•AF=AB（BF-AF）=AB²．
即AB²=BE•BD-AE•AC成立

點評：本題主要考查與圓有關的比例線段、相似三角形的判定及割線性質的應用．屬于對基礎知識的考查．解決第二問的關鍵在于把等式右邊的表達式轉化．