Question

已知函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），θ（x）=

4

x

+x
（1）當0＜a＜1時，解不等式，2f（x）-g（x）≥0
（2）證明：函數θ（x）在x∈（0，2]單調遞減；
（3）當a＞1，x∈[0，1]時，總有2f（x）+m≥g（x）恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明,指、對數不等式的解法

專題：導數的綜合應用

分析：（1）先求出函數定義域，根據對數的圖象和性質，得到不等式，解得即可；
（2）利用導數和函數的單調性的關系即可判斷，
（3）分離參數，構造函數h（x）=

1-x

(x+1)2

，利用導數求出函數的最大值即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），
設F（x）=2f（x）-g（x），
∴F（x）的定義域為（-1，1），
∵2f（x）-g（x）≥0，
即2log_a（x+1）≥log_a（1-x），
即log_a（x+1）²≥log_a（1-x），
∵0＜a＜1，
∴（x+1）²≤1-x，
解得-1＜x≤0，
故不等式，2f（x）-g（x）≥0的解集為（-1，0]
（2）∵θ（x）=

4

x

+x，
∴θ′（x）=1-

4

x2

=

(x-2)(x+2)

x2

，
當θ′（x）≤0時，即-2≤x＜0，或0＜x≤2，函數單調遞減，
故函數θ（x）在x∈（0，2]單調遞減；
（3）∵2f（x）+m≥g（x）恒成立，
∴m≥g（x）-2f（x）=log_a（1-x）-log_a（x+1）²=log_a

1-x

(x+1)2

，
設h（x）=

1-x

(x+1)2

，
∴h′（x）=

(x-3)(x+1)

(x+1)2

，
當h′（x）≤0時，即-1≤x≤3時，函數h（x）單調遞減，
即函數h（x）在∈[0，1]單調遞減，
當x=0時，h（x）_max=1，
∵a＞1，
∴log_a

1-x

(x+1)2

∈[0，1]單調遞減，
∴log_a

1-x

(x+1)2

≤0，
∴m≥0，
故m的取值范圍為[0，+∞）

點評：本題考查了導數和函數的單調性最值的關系，以及不等式的解法，函數恒成立的問題，培養了學生的轉化能力，和運算能力，屬于中檔題