Question

（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱中，，是棱上的動點，是中點，，．
（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若二面角的大小是，求的長．

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析
（Ⅱ）

（Ⅰ）證明：∵三棱柱是直棱柱，
∴平面．
又∵平面，∴ ．
∵，，是中點，
∴．
又∵∩，∴平面．
（Ⅱ）解：以為坐標原點，射線為軸正半軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，

則,,．
設，平面的法向量，
則,．
且，．
于是
所以取，則
∵三棱柱是直棱柱，
∴平面．又∵平面，
∴ ．∵，
∴．∵∩，
∴平面．
∴是平面的法向量，．
∵二面角的大小是，
∴．
解得．∴．