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如果存在常數(shù)a使得數(shù)列{an}滿足:若x是數(shù)列{an}中的一項,則a-x也是數(shù)列{an}中的一項,稱數(shù)列{an}為“兌換數(shù)列”,常數(shù)a是它的“兌換系數(shù)”.
(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)若有窮遞增數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求證:數(shù)列{bn}的前n項和
(3)已知有窮等差數(shù)列{cn}的項數(shù)是n(n≥3),所有項之和是B,試判斷數(shù)列{cn}是否是“兌換數(shù)列”?如果是的,給予證明,并用n和B表示它的“兌換系數(shù)”;如果不是,說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,可得a-m,a-4,a-2,a-1也是該數(shù)列的項,且a-m<a-4<a-2<a-1,由此可求m和a的值;
(2)不妨設(shè)有窮數(shù)列{bn}的項數(shù)為n,根據(jù)有窮數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,可得bi+bn+1-i=a(1≤i≤n),從而可得數(shù)列{bn}的前n項和;
(3)證明對數(shù)列{cn}中的任意一項ci(1≤i≤n即可.
解答:(1)解:因為數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”
所以a-m,a-4,a-2,a-1也是該數(shù)列的項,且a-m<a-4<a-2<a-1----------(1分)
故a-m=1,a-4=2-------------------(3分)
即a=6,m=5.-------------------(4分)
(2)證明:不妨設(shè)有窮數(shù)列{bn}的項數(shù)為n
因為有窮數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,所以a-bn,a-bn-1,…,a-b1也是該數(shù)列的項,-----(5分)
又因為數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列b1<b2<…<bn,且a-bn<a-bn-1<…<a-b1-------------------(6分)
則bi+bn+1-i=a(1≤i≤n)-------------------(8分)
-------------------(10分)
(3)解:數(shù)列{cn}是“兌換數(shù)列”.證明如下:
設(shè)數(shù)列{cn}的公差為d,因為數(shù)列{cn}是項數(shù)為n項的有窮等差數(shù)列
,則
即對數(shù)列{cn}中的任意一項ci(1≤i≤n-------(12分)
同理可得:若也成立,
由“兌換數(shù)列”的定義可知,數(shù)列{cn}是“兌換數(shù)列”;-------------------(14分)
又因為數(shù)列{bn}所有項之和是B,所以,即-------------------(18分)
點評:本題考查新定義,考查學(xué)生的閱讀能力,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

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(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)若有窮遞增數(shù)列{bn}是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求證:數(shù)列{bn}的前n項和Sn=
n2
•a

(3)已知有窮等差數(shù)列{cn}的項數(shù)是n0(n0≥3),所有項之和是B,試判斷數(shù)列{cn}是否是“兌換數(shù)列”?如果是的,給予證明,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;如果不是,說明理由.

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(1)若數(shù)列:1,2,4,m(m>4)是“兌換系數(shù)”為a的“兌換數(shù)列”,求m和a的值;
(2)已知有窮等差數(shù)列bn的項數(shù)是n0(n0≥3),所有項之和是B,求證:數(shù)列bn是“兌換數(shù)列”,并用n0和B表示它的“兌換系數(shù)”;
(3)對于一個不少于3項,且各項皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論并說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

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(3)對于一個不少于3項,且各項皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列{cn},是否有可能它既是等比數(shù)列,又是“兌換數(shù)列”?給出你的結(jié)論并說明理由.

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