Question

若函數y=ax³+（2-a）x在R上恒為增函數，則（　　）

A．a∈（0，2]

B．a∈（0，2）∪（2，∞）

C．a∈（0，2）

D．a∈[0，2]

Answer 1

分析：利用導數與函數單調性的關系轉化為f′（x）≥0恒成立處理．

解答：解：因為函數y=ax³+（2-a）x在R上為增函數，所以y′=3ax²+2-a≥0在R上恒成立，
①當a=0時，顯然成立；②當a＞0時，即x2≥

a-2

3a

恒成立，此時

a-2

3a

≤0，所以0＜a≤2；
③當a＜0時，x2≤

a-2

3a

，不恒成立．
綜上，a的取值范圍為[0，2]．
故選D

點評：此題考查導函數與函數單調性的關系，可導函數f（x）在某區間上單調遞增的充要條件是f′（x）≥0（不恒為0）．