Question

已知函數f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x+b，（a，b∈R）
（1）當a=3時，若f（x）有3個零點，求b的取值范圍；
（2）對任意a∈[

4

5

，1]，當x∈[a+1，a+m]時恒有-a≤f'（x）≤a，求m的最大值，并求此時f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）把a=3代入f（x），函數f（x）進行求導，求出函數單調區間，研究其極值，從而求出b的范圍；
（2）對任意a∈[

4

5

，1]，可知當x∈[a+1，a+m]時恒有-a≤f'（x）≤a，將問題轉化為f'（a+1）=2a-1＜a恒成立，再利用常數分離法進行求解；

解答：解：∵函數f(x)=-

1

3

x3+2ax2-3a2x+b，
∴f'（x）=-x²+4ax-3a²
（1）若a=3，f'（x）=-（x-3）（x-9），
f（x）極小值=f（3）=-36+b，
f（x）極大值=f（9）=b
由題意：

b＞0 -36+b＜0

∴0＜b＜36
（2）a∈[

4

5

，1]時，有2a≤a+1≤2，
由f'（x）圖象，f'（x）在[a+1，a+m]上為減函數，
∴f'（a+m）＜f'（a+1）易知f'（a+1）=2a-1＜a必成立；
只須f'（a+m）≥-a得

1

a

≤

2m+1

m2

a∈[

4

5

，1]，
可得-

2

5

≤m≤2
又m＞1，
∴1＜m≤2m最大值為2
此時x∈[a+1，a+2]，有2a≤a+1＜3a≤a+2，
∴f（x）在[a+1，3a]內單調遞增，在[3a，a+2]內單調遞減，
∴f（x）_max=f（3a）=b；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性及其應用，這類題型是高考的熱點問題，是一道中檔題；