Question

（本小題滿分12分）
已知 是各項都為正數的數列，其前 項和為，且滿足．
（Ⅰ）求，， 的值；
（Ⅱ）求數列 的通項公式；
（Ⅲ）令＝，求證．

Answer 1

（Ⅰ）=1，，
（Ⅱ）
（Ⅲ）證明見解析。

解析（Ⅰ）解：（I）令，則有舍去）．
令，得，即．
∴（舍去負值）．
同理，令可解得．                                     3分
（Ⅱ）解法一：（可猜想通項公式并用數學歸納法證明，略）
解法二：∵，① 又≥2時有，代入①式并整理得
 ＝1．∴是首項為1，公差為1的等差數列.                 6分
∴，∴（≥2），又
∴．                                                   8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知…＋≤1＋…
＝1＋1-…＋．
即．                                                      12分