Question

設集合A={x|y=

x-4 2-x

}，B={k|f（x）=

x2+x+1

kx2+kx+1

的定義域為R}．
（Ⅰ）若f是A到B的函數，使得f：x→y=

2

x-1

，若a∈B，且a∉{y|y=f（x），x∈A}，試求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）若命題p：m∈A，命題q：m∈B，且“p且q”為假，“p或q”為真，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得A=（2，4]；由題意可得kx²+kx+1≠0恒成立分，分類討論①當k=0時，1≠0恒成立
②當k≠0時，△=k²-4k＜0可求B，而由y=

2

x-1

，可求函數值域，進而可求a的范圍
（2）由題意可得P：2＜m≤4，Q：0≤m＜4，當P真Q假時，

2＜m≤4 m＜0或m≥4

；當P假Q真，

m＞4或m≤2 0≤m＜4

，可求m的范圍

解答：解：（1）由題意可得，

x-4

2-x

≥0，解可得2＜x≤4
∴A=（2，4]…（2分）； 
由f（x）=

x2+x+1

kx2+kx+1

}的定義域為R可得kx²+kx+1≠0恒成立
①當k=0時，1≠0恒成立
②當k≠0時，△=k²-4k＜0，解可得0＜k＜4
綜上可得，0≤k＜4
∴B=[0，4）…（4分）；
∵y=

2

x-1

，2＜x≤4
∴y∈[

2

3

，2）
∵a∈B且a∉{y|y=f（x），x∈A}，
∴a∈[0，

2

3

）∪[2，4）…（6分）
（2）∵P：2＜m≤4，Q：0≤m＜4
當P真Q假時，

2＜m≤4 m＜0或m≥4

則m=4…（8分）；
當P假Q真時，

m＞4或m≤2 0≤m＜4

，則0≤m≤2，…（10分）
所以m∈[0，2]∪{4}…（12分）

點評：本題主要考查了函數定義域的求解，二次函數的恒成立問題的求解及復合命題真假判斷的應用，屬于綜合試題