Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的一個頂點為A(2，0)，離心率為.直線y＝k(x－1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.
(1)求橢圓C的方程；
(2)當△AMN的面積為時，求k的值．

Answer 1

（1）＝1（2）k＝±1.

(1)由題意得解得b＝，所以橢圓C的方程為＝1.
(2)由得(1＋2k²)x²－4k²x＋2k²－4＝0.設點M，N的坐標分別為(x₁，y₁)，(x₂，y₂)，
則y₁＝k(x₁－1)，y₂＝k(x₂－1)，x₁＋x₂＝，x₁x₂＝，
所以MN＝＝.
又因為點A(2，0)到直線y＝k(x－1)的距離d＝，所以△AMN的面積為S＝MN·d＝.由＝，解得k＝±1.