Question

已知向量

a

=(2sin

x

3

，2cos

x

3

)，

b

=(cos

π

6

，sin

π

6

)，函數f(x)=

a

•

b

（x∈R）．
（1）求函數y=f（x）的表達式；
（2）設α，β∈[0，

π

2

]，f(3α+π)=

16

5

，f(3β+

5π

2

)=-

20

13

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量數量積的坐標表示及逆用兩角和的正弦即可求得y=f（x）的表達式；
（2）依題意，由f（3α+π）=

16

5

可求得cosα與sinα的值；同理，由f（3β+

5π

2

）=-

20

13

，可求得sinβ與cosβ的值，從而可求cos（α+β）．

解答：解：（1）依題意得f（x）=2sin

x

3

cos

π

6

+2cos

x

3

sin

π

6

=2sin（

x

3

+

π

6

）（4分）
（2）由f（3α+π）=

16

5

得4sin[

1

3

（3α+π）+

π

6

]=

16

5

，
即4sin（α+

π

2

）=

16

5

，
∴cosα=

4

5

，
又∵α∈[0，

π

2

]，
∴sinα=

1-cos2α

=

3

5

，（8分）
由f（3β+

5π

2

）=-

20

13

，
得4sin[

1

3

（3β+

5π

2

）+

π

6

]=-

20

13

，即4sin（β+π）=-

20

13

，
∴sinβ=

5

13

，又∵β∈[0，

π

2

]，
∴cosβ=

1-sin2β

=

12

13

，（12分）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

（14分）

點評：本題考查向量數量積的坐標表示，著重考查兩角和與差的余弦，考查運算能力，屬于中檔題．