Question

根據數列的前幾項，寫出下列各數列的一個通項公式.

(1)-1,7,-13,19,…;

(2)7,77,777,7 777,…;

(3),,,,,…;

(4)5,0,-5,0,5,0,-5,0,…;

(5),,,,…;

(6),,,,…;

(7)1,0,,0,,0,,0,…;

(8)11,102,1 003,10 004,….

   

Answer 1

思路分析：本題給出了數列的前幾項，要求寫出數列的一個通項公式.通項公式就是尋找一列數的排列規則，也即找每一個數與它的序號間的對應法則.

    解：(1)應解決兩個問題，一是符號問題，可考慮用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹表示；二是各項絕對值的排列規律，不難發現后面的數的絕對值總比它前面數的絕對值大6.故通項公式a_n=(-1)ⁿ(6n-5).

(2)先聯想數列1,11,111,1 111,…的通項，它又與數列9,99,999,9 999,…的通項有關，而=10ⁿ-1,于是a_n=(10ⁿ-1).

(3)這是一個分數數列，其分子構成偶數數列，而分母可分解為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,每一項都是兩個相鄰奇數的乘積.經過組合，則所求數列的通項公式a_n=.

(4)數列的各項具有周期性，聯想基本數列1,0,-1,0,…,則a_n=5sin.

(5)數列可以寫成,,,,…,于是分子依次為3,4,5,6,…,其規律是后項等于前項加1，又首項為3=1+2，故分子的通項公式為n+2;分母依次為5,8,11,14,其規律是后項等于前項加3,又首項為5=3×1+2,故分母的通項公式為3n+2.

∴數列的通項公式為a_n=.

(6)分子為1,3,5,7,…,其通項公式為2n-1;分母為4,8,16,32,即2²,2³,2⁴,2⁵,…,其通項公式為2ⁿ⁺¹.∴數列的通項公式為a_n=.

(7)所給數列可等價變形為,,,,,,,,…,分子是1,0重復變化，且奇數項為1，偶數項為0，其通項公式為,分母的通項公式為n，所以數列的通項公式為.

(8)所給數列可等價變形為10+1,10²+2,10³+3,10⁴+4,…,所以其通項公式為a_n=10ⁿ+n.

    思維啟示：已知數列的前幾項，寫出數列的通項公式，主要從以下幾個方面來考慮：

(1)符號用(-1)ⁿ或(-1)ⁿ⁺¹或(-1)^n-1來調解，這是因為n和n+1奇偶交錯.

(2)分式形式的數列，分子找通項，分母找通項，要充分借助分子、分母的關系.

(3)對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數列、等比數列和其他方法來解決.

(4)此類問題雖無固定模式，但也有規律可循，主要靠觀察(觀察規律)、比較(比較已知的數列)、歸納、轉化(轉化為等差或等比數列)等方法.

(5)應注意：①并非所有的數列都能寫出通項公式；②同一數列的通項公式未必唯一；③數列是一個特殊的函數，其通項公式可用分段函數來表示.