Question

（2012•河東區一模）若圓x²+y²-4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l：ax+by=0的距離為2

2

，則直線l的斜率的取值區間為

[2-

3

，2+

3

]

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標和圓的半徑，根據圓上至少有三個不同的點到直線l的距離等于2

2

，得到圓心到直線的距離小于等于

2

，利用點到直線的距離公式列出不等式，整理后求出

a

b

的取值范圍，根據直線的斜率k=-

a

b

，即可得出斜率k的取值范圍．

解答：解：圓x²+y²-4x-4y-10=0整理為 (x-2)2+(y-2)2=(3

2

)2，
∴圓心坐標為（2，2），半徑為3

2

，
要求圓上至少有三個不同的點到直線l：ax+by=0的距離為2

2

，
則圓心到直線的距離應小于等于

2

，
∴

|2a+2b|

a2+b2

≤

2

，
∴(

a

b

)2+4(

a

b

)+1≤0，
∴-2-

3

≤

a

b

≤-2+

3

，又k=-

a

b

，
∴2-

3

≤k≤2+

3

，
則直線l的斜率的取值區間為[2-

3

，2+

3

]．
故答案為：[2-

3

，2+

3

]

點評：此題考查了直線和圓的位置關系，直線與圓相交的性質等知識，要求學生掌握圓的標準方程，點到直線的距離公式，以及直線斜率的求法，其中根據題意得出圓心到直線的距離應小于等于

2

是解本題的關鍵．